SỐ PHỨC - LƯỢNG GIÁC – HÌNH HỌC

Số phức – các công thức cơ bản:
Định nghĩa và các phép tính cơ bản:
Số ảo i là số thoả:
.
Số phức z có dạng:
trong đó a được gọi là phần thực, b gọi là phần ảo.
Cho 2 số phức
. Khi đó:





.


(Các phép toán với số phức vẫn thực hiện y như với số thực, chỉ cần nhớ thêm
).
Với số phức
thì đại lượng
gọi là môđun của số phức z. Ký hiệu
. Ý nghĩa của
sẽ được làm rõ trong các phần tiếp theo.
Số phức
gọi là số phức liên hợp của z và được ký hiệu là
. Ta có:
.
Công thức De – Moivre:
Có thể nói công thức De – Moivre là một trong những công thức thú vị và là nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác sau này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler. Chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu chuỗi công thức kỳ diệu này .
Trước hết ta có:
Công thức 1:


Thật vậy:


Nếu
thì hoàn toàn chẳng có gì mới cả, nhưng ở đây
nên ta sẽ thu được:


Bây giờ nếu áp dụng công thức 1 cho trường hợp đặc biệt y=x thì ta sẽ được:


và tiếp tục là:


Bằng phép quy nạp ta sẽ thu được công thức 2.
Công thức 2 (Công thức De - Moivre):


Từ những phép tính không mấy phức tạp ta đã thu được 1 công thức rất hay (.
Bây giờ ta sẽ tìm hiểu các ứng dụng của công thức này.
Các ứng dụng của công thức De – Moivre:
Tính – rút gọn các tổng lượng giác:
Các bạn học lượng giác chắc đã từng phải rút gọn các tổng sau:


Dùng công thức De - Moivre ta có thể tính khá dễ dàng A, B và hơn nữa là tính đồng thời cả A, B. Thật vậy:


Ta áp dụng công thức nhân 2 để rút gọn VP:

So sánh phần thực và phần ảo 2 vế ta thu được kết quả :




Vậy ta đã rút gọn được các tổng A, B. Tuy nhiên có 1 lưu ý nhỏ là với
thì dễ dàng tính trực tiếp A, B mà không cần dùng đến công thức De – Moivre (và thật sự không thể dùng công thức De – Moivre, vì sao?).
Ngoài ra các bạn cũng có thể rút gọn phân số


bằng công thức De – Moivre, phần này dành cho các bạn xem như bài tập .
Luỹ thừa – Khai căn số phức:
Luỹ thừa:
VD: tính
.
Ta có:


nên


Như vậy để áp dụng công thức De – Moivre cho luỹ thừa số phức, ta chỉ cần chuyển 1 số phức bất kỳ thành dạng lượng giác, và điều này luôn có thể làm được! Thật vậy, với số phức
ta có:


với
và góc
được gọi là argument của z, ký hiệu là
.
Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn.
Khai căn 1 số phức: Giả sử t là căn bậc n của số phức


Ta có :


Do đó:


(Tại sao ta chỉ lấy
?)
Vậy 1 số phức có đúng n căn bậc n.
Về các căn bậc n của số 1 có nhiều điều khá thú vị, ở đây xin nêu 1 phối hợp giữa chúng với định lý Viet để tính tổng, cụ thể ta sẽ tính tổng sau đây:


Trước hết ta có nhận xét hữu ích sau:
Nhận xét: Nếu t là căn bậc n của 1 và
thì t là nghiệm của phương trình

.
Thật vậy:



Với 2n căn bậc 2n+1 của số 1 là:


ta có thể áp dụng nhận xét trên và suy ra 2n số phức này là 2n nghiệm phân biệt (?) của phương trình :


do đó theo định lý Viet thì:


đồng nhất phần thực 2 vế ta được:


Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn về ý nghĩa hình học của số phức và của công thức De – Moivre.
Ý nghĩa hình học của số phức:
Trước hết ta có thể coi 1 số phức
như là 1 điểm
hay là
.
Nếu ta xem mỗi số thực k như là một ‘lệnh’, tức là
là ‘lệnh’ biến vectơ
thành 1 vectơ mới cùng phương với
và có độ dài gấp
lần độ dài của
, thì ta sẽ thấy là các số thực chưa đủ để biểu diễn hết các ‘lệnh’(tức các phép biến hình), vì các số thực chỉ ứng với các ‘lệnh‘ (PBH